Aufgaben zur Hinführung auf schwierige Extremwertprobleme

Das Problem kennt jeder Möbelpacker:

Wie breit kann ein Schrank höchstens sein, damit er - bei gegebener Länge und ohne angehoben zu werden - um eine Flurecke geschoben werden kann?

Du kannst bei dieser Aufgabe Argumentieren - Schätzen - Experimentieren - Rechnen.

Argumentieren - schätzen
Beschreibe, wie ein Schrank um die Ecke geschoben werden muss, damit seine Breite bei gegebener Länge möglichst groß sein kann.
Fertige eine Skizze im Maßstab 1:20 (Flurmaße 2m auf 1,5 m) und schätze die maximale Breite für einen 3 m langen Schrank.
Unter welcher Abänderung der Aufgabenstellung könnte der Schrank auch dann noch "um die Ecke" gebracht werden, wenn er etwas zu breit ist?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe
Der Schrank muss offenbar so geschoben werden, dass seine rechte Seite die Ecke berührt.
Ein guter Schätzwert ist die Breite des gezeichneten Schranks, also 1 m. Allerdings könnte dies auch bereits etwas zu viel sein.
Falls der Schrank mit 1 Meter zu breit wäre, könnte er vielleicht doch noch "um die Ecke kommen", wenn der Flur hoch genug ist und man den Schrank etwas anheben könnte. Was in der Praxis aber oft durch das Gewicht des Schrankes nicht möglich ist.
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Experimentieren
Mit dem gegebenen Geogebra-Applet kannst du die maximale Breite des 3 m langen Schrankes graphisch ermitteln, indem du den Gleiterpunkt B verschiebst.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extremwertaufgabe
Der abzulesende Wert für die größtmögliche Breite des Schranks ist rund 0,96 m. Der Schrank aus Teilaufgabe a) mit der Länge von 3 m wäre damit etwas zu breit.
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Berechne für jeden Punkt B die mögliche Schrankbreite b(x).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Pythagoras
Die für jeden Punkt B(x|6) mögliche Schrankbreite b(x) ist der Abstand des Punktes A(2|4,5) von der Geraden BS.
Berechne die Koordinaten von S mit Hilfe des Pythagoras.
$x_{B}^{2} + {(6 - y (S))}^{2}$ $=$ $9$ $- x_{B}^{2}$
${(6 - y (S))}^{2}$ $=$ $9 - x_{B}^{2}$ $\sqrt{}$
$6 - y (S)$ $=$ $\sqrt{9 - x_{B}^{2}}$ $- 6$
$- y (S)$ $=$ $- 6 + \sqrt{9 - x_{B}^{2}}$ $\cdot (- 1)$
$y (S)$ $=$ $6 - \sqrt{9 - x_{B}^{2}}$
$S (0 | 6 - \sqrt{9 - x_{B}^{2}})$
Stelle die Geradengleichung BS auf.
$B S : \frac{y - 6}{x - x_{B}} = \frac{6 - (6 - \sqrt{9 - x_{B}^{2}}}{x_{B}}$
$B S : \frac{y - 6}{x - x_{B}} = \frac{\sqrt{9 - x_{B}^{2}}}{x_{B}}$
Multipliziere mit $x_{B} \cdot (x - x_{B})$
$B S : \sqrt{9 - x_{B}^{2}} \cdot x - x_{B} \sqrt{9 - x_{B}^{2}} = x_{B} y - 6 x_{B}$
$B S : \sqrt{9 - x_{B}^{2}} \cdot x - x_{B} \cdot y + x_{B} (6 - \sqrt{9 - x_{B}^{2}}) = 0$
Binge BS in die Hessesche Normalenform
HNF von BS:
$\frac{\sqrt{9 - x_{B}^{2}} \cdot x - x_{B} \cdot y + x_{B} (6 - \sqrt{9 - x_{B}^{2}})}{\sqrt{(9 - x_{B}^{2}) + x_{B}^{2}}}$ $=$ $0$
$\frac{\sqrt{9 - x_{B}^{2}} \cdot x - x_{B} \cdot y + x_{B} (6 - \sqrt{9 - x_{B}^{2}})}{3}$ $=$ $0$
$A (2 | 4,5)$ in die HNF von BS eingesetzt ergibt $b (x_{B})$ .
$\frac{\sqrt{9 - x_{B}^{2}} \cdot 2 - x_{B} \cdot 4,5 + x_{B} (6 - \sqrt{9 - x_{B}^{2}})}{3} = b (x_{B})$
Zusammenfassen und statt $x_{B}$ ein variables x schreiben.
$b (x) = \frac{1}{2} x - \frac{1}{3} (x - 2) \sqrt{9 - x^{2}}$
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Bestimmung des Minimums der Breitenfunktion b(x)
Die Breitenfunktion b(x) ist definiert von x = 0 bis x = 3. Sie misst für jede Position des Gleitpunktes B den "dicksten" Schrank der gerade noch um die Ecke geschoben werden kann.
Zur Lösung des Schrankproblems braucht man den "dünnsten" aller Schränke, d.h. das Minimum von b(x).
Bestätige für zwei Sonderlagen von B die Richtigkeit des Rechenergebnisses
$\begin{array}{l} b (x) = \frac{1}{2} x - \frac{1}{3} (x - 2) \sqrt{9 - x^{2}} . \end{array}$

Berechne die Ableitung von b(x) und löse die Gleichung b'(x) = 0 auf graphischem Wege, da sie algebraisch nicht gelöst werden kann.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Produktregel
Die beiden Sonderlagen für den Punkt $B$ sind $x = 0$ (der Schrank steht noch ganz im ersten Flur) und $x = 3$ (der Schrank ist ganz um die Ecke geschoben).
Die Rechnung ergibt: $b (0) = 2$ und $b (3) = 1,5$
Bilde die 1. Ableitung von $b (x)$ mit Hilfe der Produktregel und der Kettenregel.
$b^{'} (x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \sqrt{9 - x^{2}} - \frac{1}{3} (x - 2) \cdot \frac{1}{2} \cdot (9 - x^{2})^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 2 x)$
Die Zusammenfassung ergibt:
$b^{'} (x) = \frac{1}{2} + \frac{2 x^{2} - 2 x - 9}{3 \sqrt{9 - x^{2}}}$
Setze b'(x) = 0
$\frac{1}{2} + \frac{2 x^{2} - 2 x - 9}{3 \sqrt{9 - x^{2}}} = 0$
Multipliziere mit den Nennern und löse die Gleichung graphisch, indem du den Schnittpunkt der Parabel und der Wurzelfunktion (Teil einer Ellipse) ermittelst.
$\underset{Parabel}{\underset{⏟}{2 x^{2} - 2 x - 9}} = \underset{Ellipse}{\underset{⏟}{- 1,5 \sqrt{9 - x^{2}}}}$
Damit hat man die Lösung unseres Schrankproblems:
Der Punkt $B (2,32 | 6)$ liefert die Schrankbreite $b (2,32)$ des Schrankes, der bei der gegebenen Länge von 3 m gerade noch um die Ecke des Flures (2 m auf 1,5 m) geschoben werden kann.
Es gilt:
$b (2,32) \approx 0,96 m$
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Und was ist mit einer Vorhangstange?
Bestimme die maximale Länge einer waagrecht getragenen Vorhangstange, die durch den Flur (2 m auf 1,5 m) kommt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quotientenregel und Kettenregel
l (in Metern) sei die Länge der Stange.
$l = l_{1} + l_{2}$
$\sin (α) = \frac{1,5}{l_{1}} \Rightarrow l_{1} = \frac{1,5}{\sin (α)}$
Betrachte die beiden rechtwinkligen Dreiecke, die $α$ enthalten
$\cos (α) = \frac{2}{l_{2}} \Rightarrow l_{2} = \frac{2}{\cos (α)}$
Setze ein: $\cos (α) = \sqrt{1 - \sin^{2} (α)}$
$l_{2} = \frac{2}{\sqrt{1 - \sin^{2} (α)}}$
Addiere $l_{1}$ und $l_{2}$ und setze
$\sin (α) : = x$
$l (x) = \frac{1,5}{x} + \frac{2}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
Bilde mit der Quotientenregel und Kettenregell'(x) um die maximale Länge zu ermitteln.
$l^{'} (x) = - \frac{1,5}{x^{2}} + \frac{2 x}{(1 - x^{2}) \sqrt{1 - x^{2}}}$
Die Gleichung l'(x) = 0 lässt sich auch hier nicht algebraisch, sondern nur graphisch lösen.
Die x-Koordinate des Schnittpuktes S löst die Gleichung
$\frac{1,5}{x^{2}} = \frac{2 x}{(1 - x^{2}) \sqrt{1 - x^{2}}}$
x = 0,67 (ein Näherungswert!) ist also die Lösung der Gleichung l'(x) = 0 und liefert die längstmögliche Stange.
$l (0,67) = \frac{1,5}{0,67} + \frac{2}{\sqrt{1 - {0,67}^{2}}}$
$l (0,67) \approx 4,93 m$

Eine $4,93 m$ lange Stange kann also - waagrecht getragen - in unserem Flur gerade noch um die Ecke getragen werden.
Mit einem anderen Ansatz kann man die Aufgabe sogar allgemein lösen
Das ist eine längere Rechnung, aber zum Ausgleich wirst du mit einem schönen Ergebnis belohnt.
Dazu benötigst du folgendes Grundwissen:
Rechnen mit Potenzen, Kettenregel und Ableiten von Wurzeln.
Weil die Dreiecke mit den Seiten $x, b$ und $u$ einerseits und $y, v$ und $a$ andererseits ähnlich sind, gilt
$\frac{y}{a} = \frac{x}{u} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} - b^{2}}} und damit y = \frac{a x}{\sqrt{x^{2} - b^{2}}} .$
Die Gesamtlänge $l$ der Stange ist also
$l (x) = x + y = x + \frac{a x}{\sqrt{x^{2} - b^{2}}} = x (1 + \frac{a}{\sqrt{x^{2} - b^{2}}})$
Jetzt musst du das Minimum von $l (x)$ bestimmen, indem du die Nullstelle der Ableitung berechnest und das Ergebnis wieder in $l (x)$ einsetzt. Benutze beim Ableiten die Darstellung
$l (x) = x (1 + a (x^{2} - b^{2})^{- 1 / 2}) .$
Die Ableitung ist nach der Produkt- und Kettenregel
$l^{'} (x) = 1 + a (x^{2} - b^{2})^{- 1 / 2} + x \cdot a \cdot (- 1 / 2) \cdot (x^{2} - b^{2})^{- 3 / 2} \cdot (2 x)$ , also
$l^{'} (x) = 1 + a (x^{2} - b^{2})^{- 1 / 2} - a \cdot x^{2} (x^{2} - b^{2})^{- 3 / 2} .$
Um die Nullstelle zu bestimmen, setzt du $l^{'} (x) = 0$ und multiplizierst
mit $(x^{2} - b^{2})^{3 / 2}$ :
$0 = (x^{2} - b^{2})^{3 / 2} + a \cdot (x^{2} - b^{2}) - a \cdot x^{2} = (x^{2} - b^{2})^{3 / 2} - a b^{2}$
Damit erhältst du für den kleinsten Wert von $l$ die Gleichung
$(x^{2} - b^{2})^{3 / 2} = a b^{2}$
und
$x^{2} = (a b^{2})^{2 / 3} + b^{2} .$
Dieses Ergebnis kannst du noch umformen:
$x^{2} = (a b^{2})^{2 / 3} + b^{2} = a^{2 / 3} b^{4 / 3} + b^{6 / 3} = (a^{2 / 3} + b^{2 / 3}) b^{4 / 3} .$
Das Minimum der Länge $l$ hast du also für $x = \sqrt{a^{2 / 3} + b^{2 / 3}} \cdot b^{2 / 3}$ .
Um die minimale Länge $l$ zu berechnen, setzt du das in die Formel für $l (x)$ ein und benutzt dabei, dass du oben schon ausgerechnet hast, dass
$(x^{2} - b^{2})^{3 / 2} = a b^{2}$ ist, also
$\sqrt{x^{2} - b^{2}} = (a b^{2})^{1 / 3} = a^{1 / 3} b^{2 / 3}$
Jetzt wird
$l (x) = x (1 + \frac{a}{\sqrt{x^{2} - b^{2}}}) = \sqrt{a^{2 / 3} + b^{2 / 3}} \cdot b^{2 / 3} \cdot (1 + \frac{a}{a^{1 / 3} b^{2 / 3}})$
$= \sqrt{a^{2 / 3} + b^{2 / 3}} \cdot (b^{2 / 3} + a^{2 / 3}) = {\sqrt{a^{2 / 3} + b^{2 / 3}}}^{3} .$
Damit kannst du nun für beliebige Korridorbreiten $a$ und $b$ die maximale Länge einer Vorhangstange bestimmen, die noch waagerecht getragen um die Ecke geht.
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Peter unternimmt mit seinem Verein eine Floßfahrt. Ob sie aber auch gutgeht?
Mit dem nachfolgenden Geogebra-Applet kannst du experimentell durch Verschieben des Gleiterpunktes G ermitteln, ob der "schwimmende Schrank" (18 m x 4,8 m) um die Flußecke (6 m auf 10 m) kommt.

Böses Ende einer lustigen Floßfahrt: Das Floß bleibt stecken. Es hätte höchstens 4,61 m breit dürfen.
Wie sich die Mannschaft wohl behelfen wird?
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$x_{B}^{2} + {(6 - y (S))}^{2}$	$=$	$9$	$- x_{B}^{2}$
${(6 - y (S))}^{2}$	$=$	$9 - x_{B}^{2}$	$\sqrt{}$
$6 - y (S)$	$=$	$\sqrt{9 - x_{B}^{2}}$	$- 6$
$- y (S)$	$=$	$- 6 + \sqrt{9 - x_{B}^{2}}$	$\cdot (- 1)$
$y (S)$	$=$	$6 - \sqrt{9 - x_{B}^{2}}$

$\frac{\sqrt{9 - x_{B}^{2}} \cdot x - x_{B} \cdot y + x_{B} (6 - \sqrt{9 - x_{B}^{2}})}{\sqrt{(9 - x_{B}^{2}) + x_{B}^{2}}}$	$=$	$0$
$\frac{\sqrt{9 - x_{B}^{2}} \cdot x - x_{B} \cdot y + x_{B} (6 - \sqrt{9 - x_{B}^{2}})}{3}$	$=$	$0$

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